18世紀博物學之父布豐：隨意往地板上扔針，竟然可以算出圓周率？

布豐投針試驗證明怎麼寫

北京市十一學校數學建模協會，［遇見］ 授權轉發

問題背景

在18世紀的法國，有一位博物學家、數學家，叫布豐。

咱們的小學課文《松鼠》便出自他筆下；他還寫了鉅著《自然史》……但是咱們今天要說的，是他提出的一個數學問題——“布豐投針問題”。

布豐投針問題：設我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板，隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的機率。

布豐以此機率提出了計算圓周率的新方法：

隨機投針法

。

不知道你現在的心情是不是這樣：

反正我是。

隨便往地板上扔針，竟然能算出圓周率？？？這兩件事，有一點點的關係麼？……

顯然，這東西是能被嚴謹證明的（要不然，我為啥拿出來發公眾號）。證明過程請看下文——

數學原理

方法一

在上圖中，如果點代表針的中點，直線是平行線中的一條的話，針所有可能的位置（無論相交與不相交）便組成了下圖這個圓。其中，針與平行線相交的所有位置組成的圖形就是陰影部分。

兩側完全對稱，因此只取半圓考慮即可。

針所有可能的位置是不隨針中點與平行線距離的改變而改變的。因此，當考慮 y 的變化時，針所有可能的位置情況組成一個底為 S1，高為 d/2 的半圓柱。

針與平行線相交的所有可能位置隨y變化而變化，因而組成如下圖形。

取 V2 的一塊微元（體積的微分）：

如果你看完之後是這個情況：

先別走，考慮看看方法二吧，它比方法一簡單那麼一點點。

方法二

為了方便分析，取平面內一個結構單位，該結構單位由某條平行線的某部分和一根針組成。

如圖，由於y可以取0到d/2的任何數，因此針中點的所有可能性（所有y）構成長為d/2的線段。隨著θ的變化，該可能性並不會變化，因此所有可能性形成面積為的粉色矩形。易得：

當針中點的位置滿足其與平行線相交時，其可能的值為小於等於l/2sinθ 的所有值。隨著θ的變化，該可能性變化，因此所有可能性形成面積為S2的藍色圖形。

計算機模擬實驗

經過一大串證明後，咱們就來自己投針試試。

為此，我編了個Python程式，可以模擬隨機投針的過程，還能生成影象！（感謝資訊科技考學讓我學會用turtle模組畫圖……）

於是，我先做了6次扔100根針的實驗。針的長度為40，平行線間距為50。即在這個實驗中，l=40，n=100，d=50。結果如下：（π的計算精度取小數點後兩位）

啊這……好像並不是很準。這是由於只有100根針，隨機總量不夠大。

並且話說回來，計算機這麼厲害的工具，只讓它模擬100根針顯然屈才。因此，我打算好好壓榨利用它，讓它進行了500次扔一百萬根針的模擬。

100萬根針不方便生成影象，列舉資料也是既麻煩又不直觀的，所以我把輸出的值做了個散點圖：

可見結果與 π 已經相當接近了。

總結

該方法之所以可以估算π值，是因為進行了轉化、變換得到的等式中帶有π。

例如，方法二中π的來自於 S1，更本質地說，是來自於針與平行線夾角的積分上限（範圍）。實際上這個 π 是從角度中得到。

由這個思路，我們或許可以想出更多估算值的方法——構造等量關係，並使等量關係中帶有 π。而構造出的一個很好的思路便是使角度成為一個決定性的量。