透過數學揭秘宇宙的起源，宇宙大爆炸的數學證明

數學是怎麼誕生的

宇宙學是研究整個宇宙的動力學行為的學科。現代宇宙學目前被大爆炸理論所主導，該理論試圖將天文學和基本粒子物理放在一個框架中。λ冷暗物質模型就是一個例子，我們將在下面更詳細地討論它。

顧名思義，這個模型包括許多型別的物質和能量，例如：

暗能量（這裡用宇宙常數λ表示）

假設的冷暗物質（縮寫為CDM）

普通物質。

圖1：在左邊，你可以看到一個星系團，它是遍佈整個宇宙網的節點。右邊是可觀測到的對數尺度宇宙的圖解。

現代宇宙學誕生於愛因斯坦發表的論文《廣義相對論的宇宙學思考》，該論文將他的引力理論應用於整個宇宙。

圖2：愛因斯坦的論文《廣義相對論的宇宙學思考》，由此誕生了現代宇宙學

宇宙學的標準模型

我們目前宇宙學的標準模型是λ CDM。在λ CDM模型中，宇宙的總能量分為物質、暗物質和暗能量三部分。這一劃分是基於來自威爾金森微波各向異性探測器的資料。

圖3：估算的宇宙總能量分為物質、暗物質和暗能量

均勻性和各向同性

如果我們考慮宇宙中足夠大的區域（例如，星系團），宇宙的幾何形狀幾乎是均勻的和各向同性的（這些假設構成了所謂的宇宙學原理）。

均勻性是指每一點都具有相同的性質

各向同性是指各個方向的一致性。

圖4：沒有各向同性的均勻性的例子，反之亦然

宇宙的度規

以度規張量g為例，它捕捉了所有時空的幾何和因果結構，被用來定義諸如時間、距離、體積、曲率、角度以及未來和過去的分離等概念。均勻性意味著g在宇宙的不同點上不會改變。各向同性是指g對於時空中任何一點是球對稱的。這兩個性質的一個結果是度規g的空間部分的曲率K是常數。

現在考慮一個n維歐幾里得空間。

圖5：歐幾里得空間

根據舒爾定理，如果給定點的一個鄰域內的所有點都是各向同性的，且空間的維數等於或大於3，則曲率K在整個鄰域內都是常數。

圖6：根據舒爾定理，如果在P的鄰域內所有點都是各向同性的，且空間的維數等於或大於3，則曲率K在整個鄰域內是恆定的。

在宇宙模型中，曲率K在任何地方都是常數，因為我們假設宇宙是全域性各向同性的。每個各向同性點的黎曼曲率張量可以寫成：

方程1：曲率處處為K常數的宇宙的全域性各向同性模型的黎曼張量。

一個非零的黎曼曲率張量是這樣一個事實的結果，當向量平行移動回原點後，它就變成了一個不同的向量。

圖7：一個非零的黎曼曲率張量是向量（平行）移動回起點後的結果，它變成了一個不同的向量

請注意，我們的宇宙只是在空間上是整體對稱的，而不是在時間上（我們從觀察中知道，宇宙正在膨脹）。行元素可以寫成：

方程2：函式R（t）是比例因子，dσ²是線元素的（角）空間部分。

其中R（t）表示宇宙空間切片的時間演化，告訴我們這些切片在t時刻有多大。線元素的空間角部分可以寫成：

方程3：宇宙空間切片的度規。

張量γ是均勻的和各向同性的。u座標是空間切片上的座標，稱為移動座標。保持恆定u的觀測者在運動，他們認為宇宙是各向同性的。

插曲

很明顯，時空點和時空座標是兩個完全不同的概念。正如我在之前的一篇文章中提到的，座標僅僅是標籤，他們的選擇不會改變物理定律。當a（t）發生變化時，物理點的位置也發生變化，但它們在移動座標系中的距離保持不變。

圖8：雖然宇宙尺度因子a（t）增加了（宇宙的大小增加了），但移動的距離卻沒有

相應的裡奇張量則為：

方程4：裡奇張量對應於方程3。

我們的宇宙模型是極大對稱的。極大對稱意味著球對稱。從卡羅爾對史瓦西黑洞的討論中可知：

方程5：球對稱空間度量可以寫成這種形式。

其中r為徑向座標：

方程6：二維球上的度規

為了繼續，我們將需要引入張量的概念。讓我們來考慮一些例子：

零階張量是一個標量，一個由單個元素（如實數）描述的量。溫度是一個標量，因為在某一點它是一個單獨的數字。

圖9：蛋白質片段的熱振動幅度隨溫度升高而增大。

向量是一個一階張量：

圖10：一個向量的例子

為了理解高階張量，我們跟隨狄拉克，首先建立一個特殊的二階張量：

方程7：一個二階逆變張量的例子。

這是一種特殊的張量。在新的座標系下，x→x’張量T變換為：

方程8：方程7中的張量在座標變換後的變化。

加上幾個類似於T的張量，我們得到一個一般張量：

方程9：一般二階張量的一個例子。

圖11：二階張量的圖解

正如狄拉克所指出的：

關於一般張量的重要事情是，在座標的變換下，它的分量的變換方式與T相同。

因為有兩個上標，這個張量叫做逆變張量。協變張量有兩個下標和類似於方程8的變換，但是在分母中有素數座標（如果流形上的每個點都與一個張量相關，我們就有一個張量場）。張量是寫廣義相對論方程所必需的，因為如果一個張量方程在一個座標系中成立，那麼它在所有座標系中都成立。

由於廣義相對論遵循一般協方差原則，根據該原則，物理定律的形式不應因我們如何標記時空點而改變，張量的使用是至關重要的。

找到度規

讓我們回到方程5。下一步是找到與這個度規對應的函式β（r）。為此，我們需要愛因斯坦場方程（EFE），由：

方程10：愛因斯坦場方程。

圖12：根據愛因斯坦場方程，質量之間的引力效應是它們時空扭曲的結果

這裡：

二階張量R被稱為裡奇張量，它衡量時空的幾何性質（區域性）與通常空間（歐幾里得）有多少不同。

張量g是度規張量

方程11：出現在愛因斯坦場方程中的度規張量g。

在最簡單的情況下，平坦的閔可夫斯基空間，度規張量g為：

方程12：平坦閔可夫斯基時空的度規張量。

標量R是標量曲率R（R的跡）。

λ（宇宙常數）等於真空能量（與暗能量有關）。

右邊的二階對稱張量T是能量-動量張量，其形式是：

方程13：應力-動量張量T的分量。

其中ρ是能量密度。

回到方程5，我們計算張量R的分量，經過一些代數運算，我們得到了以下關於dσ²的表示式：

方程14：新的球對稱空間度規。

引數k決定空間曲面的曲率，通常歸一化為：

方程15：引數k決定空間表面的曲率。

圖13：與具有正、負和零曲率的宇宙相關的方程15中k的三個可能值。

對稱超曲面隨時間增加的完全度規稱為羅伯森-瓦爾克度規

方程16：羅伯森-瓦爾克度規

為了求出a（t）我們需要應用愛因斯坦場方程。保持行元素不變：

方程17：重新定義a（t）， r，k。

注意：

a

（

t

） 是無量綱的

r是距離的維數

κ不受+1，0，-1的限制

RW線元素變為：

方程18：經過上述變換後的新RW線元素。

現在，我們可以使用愛因斯坦場方程來推導尺度因子a（t）的微分方程。我們先把右邊寫下來，通常的選擇是把愛因斯坦場方程中的物質和能量模擬成在運動座標中處於靜止狀態的完美流體。張量能量-動量T變成：

方程19：靜止座標系下的完美流體的能量-動量張量。

其中，ρ是質量-能量密度，p是壓力。在靜止座標系中，完美流體的密度ρ和各向同性壓力p都具有完全的特徵。它有以下三個特性：它沒有剪應力、粘度或熱傳導。

利用能量守恆，由的ν=0分量得到：

方程20：靜止座標系下的完美流體的能量-動量張量。

得到了：

方程21：宇宙的能量守恆。

如果p/ρ等於某個常數w，方程可以立即積分。我們得到：

方程22：能量密度對w的依賴關係。

宇宙流體的型別

宇宙學流體最常見的形式是：

物質（包括暗物質）：

零壓力下的非碰撞非相對論性粒子。例如常見的恆星和星系。對a的依賴是由於宇宙膨脹導致的密度下降：

方程23：零壓力的非碰撞非相對論性粒子。

輻射：

電磁輻射和有質量但運動速度非常快的粒子（基本上變成光子）：

方程24：電磁輻射和有質量但運動速度非常快的粒子。

真空能量：

方程25：真空能具有恆定的能量密度和負壓。

注意，用方程19中的T，我們可以用兩個量來描述物質：它的密度ρ和壓力p，這兩個量都只取決於a（t）：

利用愛因斯坦場方程，經過一些代數運算，我們得到以下關於a（t）的方程。

方程26：弗裡德曼方程。

如果我們做替換：

得到：

方程27：採用上述代換的弗裡德曼方程。

如果a（t）服從方程27，則方程18稱為弗裡德曼-羅伯森-瓦爾克度規。

密度引數

密度引數是決定宇宙形狀的一個有用的量。定義為：

方程28：密度引數。

時空的幾何形狀取決於Ω的值：

Ω< 1對應於開放的宇宙

Ω=1對應於平坦的宇宙

Ω> 1對應於封閉宇宙

尺度因子的動力學：求解弗裡德曼方程

如本文開頭所示，宇宙的能量是由不同的物種組成的，我將用下標i進行索引，如果我們知道：

每個i的能量

第i個方程

空間曲率k

宇宙常數λ

例如，我們可以精確地解出第一個弗裡德曼方程，假設所有的能量成分都按照冪律演化：

方程29：我們假設所有的能量成分都是冪律。

與方程22相比，我們得到如下關係：

方程30：方程22和方程29中指數之間的關係。

我們可以將曲率的貢獻視為w=-1/3且n=2時的一種虛構的能量密度。這讓我們可以寫得很優雅：

方程31：哈勃引數的平方表示所有形式的能量（包括虛構的“曲率能量”）的能量密度。

其中H是所謂的哈勃引數。

現在，在宇宙膨脹的不同階段由不同型別的能量密度主導。利用弗裡德曼方程，我們得到：

方程32：a（t）的時間演化。

圖14：尺度因子a（t）（與宇宙的大小有關）在數十億年裡的演變。所示的所有模型都是弗裡德曼方程的解，只改變引數

膨脹的氣球和膨脹的宇宙的類比如下圖所示。

圖15：星系的運動對應於點的運動

宇宙大爆炸

所有這些解在a（t=0） =0處都有一個奇點。這個奇點被稱為大爆炸。有三件事必須提到：

大爆炸理論並沒有描述在已經存在的時空中發生的爆炸（與許多非專業人士的觀點相反）。

斯蒂芬·霍金和羅傑·彭羅斯證明了奇點的存在並不僅僅發生在FRW宇宙中，而是發生在任何具有非負壓強p和正能量密度的宇宙中。

在a=0時，能量密度變得無窮大，因此廣義相對論在這一點上是無效的（人們可能需要一個量子引力理論來更好地理解那裡發生了什麼）。

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