正交矩陣，只是一個矩陣！

模糊判斷矩陣怎麼寫出來

正交矩陣，

只是一個矩陣！

不好意思，你們要的老大被我正交了。

談起正交變換，不知道模友們是否記得之前一篇文章——如何透過心形線快速認識秩的幾何意義？裡面提到一位很牛逼的數學家費羅貝尼烏斯（F。G。Frobenius，1849-1917）。

他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、

正交矩陣

、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了

正交矩陣

與合同矩陣的一些重要性質。

沒錯，今天要討論的就是他的貢獻之一，

正交矩陣與正交變換

。

故事開始，先從

代數角度

理解一下正交矩陣。

其實很簡單，我們找到兩個相同的矩陣Q，它們一起睡覺，一個躺著睡（仰臥），一個翻轉過來睡（俯臥），透過一晚上的成長，早上起來它們生出了一個簡單又特殊的矩陣——單位矩陣（主對角線都是1，其餘為0），因此就稱Q為正交矩陣。

站在更高角度看，我們把n階正交矩陣全體和矩陣乘法運算看成一個

正交群，

記作O（n）。如果這些正交矩陣的行列式恰好都是1，那就更特殊了（因為它們的娃單位矩陣行列式也是1，有種遺傳效能的感覺），我們稱之為

特殊正交群

，記作SO（n）。

下面我們舉一個栗子，驗證一下二維旋轉矩陣是不是正交矩陣

它們一起睡覺，開始造人了

這樣就得到了結論：

旋轉矩陣就是正交矩陣。

模友們可以透過

簡單運算

判斷下面這個矩陣是否是正交矩陣（看看誰能最快算出來）

我相信，中國的最強大腦在這裡！

那接下來，再從

幾何角度

理解一下正交變換。

先給出一個大家非常熟悉的定義：

這段比較通俗的正交變換解釋出自於在同濟大學的《線性代數》教材上（如果想不起來那有可能上課睡過去了

），當然，超模君覺得它十分不嚴格，如果要嚴格版本，就沒有那麼顯然易懂了：

正交變換就是一個保持內積的線性變換φ，它從V映到V，其中V為實內積空間。具體的，對任意向量u，v∈V，我們有（其中（u，v）表示內積）。

我們也知道，正交變換能保持三角形形狀不變，這讓超模君想到了正交變換中的

平移

和

旋轉變換

。

確實！透過平移或旋轉，不會改變三角形的形狀。

那正交變換的優良是什麼梗？

那是因為它還有許多不變的性質，稱之為

忠心耿耿變換

再好不過了。

點、線、面的全家福

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點、線、面正是吃了正交變換這顆“仙丹”，使它們保持身體健康青春有活力：

正交變換把點變為點，直線（線段）變為直線（長度相等的線段），把平行線變為平行線，把共線（不共線）三點變為共線（不共線）三點；保持直線夾角不變，最下面三個圖形經過正交變換後形狀、大小完全不變（全等）。

多麼

漂亮優美

的性質啊！試想一下，換成別的變換，哪怕是一個正方形，變換過去就“面目猙獰，六親不認”了。

如果登場的是一個出身不菲的大佬……

怪形

怎麼是凸的？看著不爽，我們先移動節點讓它每兩條直線都不香蕉

（相交）吧：

最強大腦現場

那麼透過正交變換後，這個圖形的形狀和大小會改變嗎？

沒有思路？我們連幾條輔助線就豁然開朗了：

好了，

超模君要問一個問題了

，原來的怪形，透過正交變換，形狀也會不變嗎？

最後來說說正交變換（矩陣）的應用。計算機中使用的軟體工具無不離開強大的數學原理，影象處理也不例外，這在之前的特徵向量文章中就有提及過。

用矩陣表示影象，構造正交均值差分變換矩陣，透過矩陣的乘法對原始影象進行正交變換，進一步取閾值，我們只儲存絕對值大於閾值的係數（刪去矩陣上一些係數），來實現資料影象的壓縮。我們來看一組圖片：

小貓原始影象及不同閾值下的解碼影象

可以看到，雖然貓越來越模糊，但仍然不失真，不會把貓變成一隻狗，透過最後一幅圖片我們還是可以辨別它就是貓。

這讓超模君想起了經常使用的動圖壓縮工具，如果動圖時間越長，壓縮出來的影象就越是av畫質了，可以看到下面一張動圖，壓縮前是一個旋轉，

壓縮後就像打雷一樣

。

本文系網易新聞·網易號“各有態度”特色內容

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