德州撲克｜Ed Miller談撲克：短牌德州的數學

我最近總是聽到一種叫做短牌德州（short deck）的新遊戲。短牌德州的玩法和標準德州撲克相似，只是用更少的牌遊戲——發牌堆去掉了所有的2到5之間的牌。最小的順子是A-6-7-8-9。有些短牌德州變體改變了成手牌排名，最明顯的改變是——同花大於葫蘆。

當我第一次聽說短牌德州時，聽起來新的撲克數學可能會與許多牌手透過遊戲標準無限德州撲克構建的直覺相反。因此，我想做的第一件事，就是思考撲克數學發生了怎樣的變化。

假設你發到10♥ 9♥。我們來探索標準德州撲克和短牌德州背後的數學，看看在兩種遊戲中翻牌圈拿到順子聽牌和同花聽牌的機率分別是多少。

標準德州撲克的聽牌

一旦你拿到自己的兩張底牌，牌堆還剩50張牌。三張公共牌將在翻牌圈發出，因此總共有50選3種可能的翻牌面。你可以在谷歌輸入50選3（50 choose 3），它將告訴你答案。在這種情況下，總共有19600種可能的翻牌面。

為了在翻牌圈拿到同花聽牌，你需要在翻牌圈發到剩餘11張紅桃的2張，和一張非紅桃的第三張翻牌。因此，這個結果是11選2乘以39（牌堆中剩餘的非紅桃牌的數量）。因為11選2是55，總共的同花聽牌數量是2145。將這個數字除以總共的翻牌面數量，你將得到11%，這就是你翻牌圈拿到同花聽牌的機率。

為了在翻牌圈拿到兩端順子聽牌，你需要翻牌發出QJ、J8或87，以及一張無關牌。QJ有16種發出方式，算上其他兩種組合各自的16種發出方式，這三種組合總共有48種發出方式。

如果我們指定無關牌不能是一張完成順子的牌，每48種發出方式各有40種可能的無關牌。這使得總共有1920種順子聽牌翻牌面。將這個數字除以總翻牌圈的數量，你將得到一個約10%的結果，這就是你翻牌圈拿到順子聽牌的機率。

短牌德州的聽牌

在短牌德州中，你發到兩張底牌後還剩下34張牌，因此總共有34選3 = 5984種可能的翻牌面。

牌堆只剩下7張紅桃，因此，你有7選2乘以27 = 567種可能的翻牌面可以拿到一副同花聽牌。557 / 5984 ≈ 9。5%，這就是你翻牌圈拿到同花聽牌的機率。在標準德州撲克中拿到翻牌圈同花聽牌的機率是11%，因此短牌德州相比標準德州撲克拿到翻牌圈同花聽牌的機率稍小一點。

至於翻牌圈順子聽牌，你在翻牌圈仍有48種拿到QJ、J8或87的方式，但現在只有24張無關的第三張牌。這構成了總共1152種順子聽牌翻牌面，或者說約佔所有翻牌面的19%。因此，在短牌德州中翻牌圈拿到順子聽牌的機率要比標準德州撲克高很多。

完成聽牌

每個牌手都知道，在標準德州撲克中，同花聽牌有9張完成聽牌的補牌，順子聽牌有8張完成聽牌的補牌。你可以使用二四法則去估算完成聽牌的機率。完成聽牌機率的計算方式和我們之前在翻牌圈的計算一致，唯一的區別是，你首先計算錯過聽牌的機率，然後用1減去這個數值。

總共有47選2 = 1081種可能的轉牌和河牌。如果你有一副同花聽牌（9張補牌），那麼38張牌阻止你完成聽牌，因此你有38選2 = 703種方式錯過聽牌，也就是有703 /1081 = 65%的機率錯過聽牌。因此，你完成同花聽牌的機率是35%。

順子聽牌也是一樣，只是有39張牌阻止你完成聽牌。你總共有741種方式錯過聽牌，或者說在741 / 1081 = 68。5%的時候錯過聽牌。因此，你完成聽牌的機率是31。5%。

在短牌德州中，轉牌和河牌總共有31選2 = 465種可能。同花聽牌只5張補牌。因此，26張牌阻止你完成聽牌，你有26選2 = 325種方式錯過聽牌。也就是說，約70%的時候你會錯過同花聽牌，因此你有約30%的機率完成同花。

不過兩端順子聽牌仍然有8張補牌。因此只有23張牌阻止你完成聽牌，你有23選2 = 253種方式錯過順子聽牌。也就是，你在約254 / 465 = 54。5%的時候錯過聽牌，在約45。5%的時候完成聽牌。

這個機率接近五五開！而且你的連子底牌在接近20%的時候翻牌圈拿到順子聽牌。因此，同花在短牌德州中更難完成，但完成順子聽牌容易很多。

翻牌圈暗三條

翻牌圈擊中暗三條的機率在短牌德州也發生了變化。你可以用計算完成聽牌機率的方法算出這個機率。在標準德州撲克中，你有48選3 = 17296種方式錯過暗三條。也就是，約88%的翻牌面（17296/19600）拿不到暗三條，從而翻牌圈拿到暗三條的機率約為12%。

在短牌德州中，你有32選3 = 4960種方式錯過暗三條。將這個數字除以5984種可能的短牌德州翻牌面，得出你有83%的機率錯過暗三條，從而翻牌圈拿到暗三條的機率約為17%。

最終思考

我不知道多少人將很快去打短牌德州。這種遊戲只在少數地區流行，而且主要是超高注額的現金局。我認為這種遊戲開始受歡迎的一個原因，是它使得你根深蒂固的撲克直覺對你產生了負面影響。

如果你打德州撲克足夠久，你開始對完成特定牌型的機率爛熟於心。經過無數次牌局的洗禮，你最終可以透過直覺得到許多場合的正確答案。

短牌德州與很多這樣的直覺相悖。完成基本牌型的機率存在明顯的差異。因此，成手牌的價值也不同。半詐唬牌和抓詐唬牌等等也存在差異。阻斷牌在某些場合變得更重要。

這種對遊戲的顛覆總是獎賞最優秀的牌手。那些能夠快速調整的牌手總是勝過其他牌手，他們能夠獨自找出真相，而不是單單依賴直覺。做本文的數學計算便是這個過程的開始。

Ed Miller簡介：

Ed Miller是著名的撲克書作者，專長是小注額現金桌，著述的撲克書籍銷量超過25萬冊。他曾在麻省理工學院主修電子工程和物理，後入微軟，不過最終辭職做了職業牌手和撲克寫手。他並不是一直都是贏家，也曾有由錯誤中學習的經歷。最後成為了一代高手。他的著作大家肯定閱讀過不少，絕對是每本都是經典，包括：《Small Stakes No-Limit Hold’em》、《Professional No-Limit Hold’em： Volume I》、《Small Stakes Hold’em：Winning Big With Expert Play》、《No Limit Hold’em：Theory and Practice》、《Playing the Player》等。Ed Miller目前是撲克培訓網站CardPlayer的專欄寫手。

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