初中數學必做好題013 一題學透圓中內接三角形與外角平分線模型

本文第一部分將先介紹圓中內接三角形和外角平分線的基本模型和結論，第二部分將透過題目展示基本模型和結論的妙用。

預熱一下，看你能不能秒解此題。

熱身題

：如圖所示，在平面直角座標系中，M在y軸上，圓M交座標軸於A，B，C三點。

過A，O，C另作一圓N。D是劣弧AC上的一個動點，連BD，連AD交圓N於點E。

判斷AD，BD，DE的關係。（變式：若D在優弧ABC上，其他條件不變，AD，BD，DE有何種關係）。文末提供解題思路，供您參考。

一，基本模型與結論

。

圓內接三角形外角平分線，得等腰

結論1證明：因為：∠DCE=∠DAB（由∠DAB+∠DCB=180°可知），

∠DCA=∠DBA（同弧對等角）

又因為CD平分∠ACE，∴∠DCA=∠DCE

∴∠DAB=∠DBA，∴DA=DB

結論2與結論1剛好相反，亦成立。

圓內接等腰三角形得外角平分線

二，識別模型，利用結論，利用一組等邊和外角平分線對的一組等角構造全等三角形，高效解題。

例1

：如圖，AB//x軸交圓O於A，B兩點，圓O交y軸於點C，P是劣弧BC上一動點，作CD⊥BP於D，連PA。求證：PA-PB-=2PD

識別等腰，快速解題

解題關鍵，識別隱藏的等腰三角形ABC,由等腰找外角平分線。

證明：連CA，CB，作CM⊥AP於M。

由AB//x軸易得Y軸是AB的中垂線，所以AC=BC。

由基本結論2快速得到PC平分∠APD。

由角平分線基本結論可知CM=CD（易證△DPC全等於△MPC），MP=PD

再證明Rt△CDBRt△CMA（HL）

所以：AM=AP-MP=BD=BP+PD

PA-PB=PM+PD=2PD。

例2

：如下圖，圓M與x軸正半軸交於點B，分別與Y軸正半軸交於點A，負半軸交於C，PA=PB，PA⊥x軸，PA的延長線交圓M於點H，若OA=4，求AC-AH。

由外角平分線找圓內接等腰△

解：由PA=PB，PB//Y軸∠PAB=∠PBA=CAB

(抓住外角平分線)

連HB，CH，由基本結論1快速得到BH=BC。由CB=HB，∠BCK=∠BHA（同弧所對圓周角）

聯想到構造全等三角形。在CA上擷取CK=HA。易證△BCK△BHA［1］AC-HA=KA，［2］BA=BK。BK=BA，OB垂直於AKAO=OK。

∴AC-HA=AK=2OA=8

例3

：如下圖，A（-3，0），B，C，D四點均在圓O‘上，AB平分∠CAD的外角。P是線段CD上一動點，PM⊥BC，PN⊥BD。求：PM+PN-AD。

基本模型快速解題

解：由AB平分∠CAD外角，快速找到外角平分線與圓的交點B。由基本模型快速判斷 出BD=BC.又有∠BDA=∠BCA，只要在邊CA上擷取CA'=DA即可構建一組全等 三角形，即△BDA與△BCA,推出AD=CA',並且易得OA=OA'.

由以下下三個條件： ［1］S△BCD=（BD*PN）/2+（BC*PM）/2

［2］S△BCD=BD*OC/2

［3］BD=BC

可知OC=PM+PN

所以，PM+PN-AD=OC-CA’=OA‘=OA=3。

預熱題提示：

提示：1，AC為直徑。2，連CA，CB則CA=CB，DC必平分∠BDE。

作CK⊥AE，△CKB△CEA，△CDK△CDE。易得：BD=AD+2DE

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