解密最簡單的超越數的奧秘：劉維爾數

法國數學家劉維爾（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年寫下了一個奇怪的無限不迴圈小數，並證明了這個小數不可能滿足任何整數系代數方程，因此確定了超越數的存在，人們為了紀念他首次發現超越數的存在，所以把這個小數稱之為劉維爾數。

前面文章已經說過， 超越數是指不滿足任何整係數多項式方程的實數，它們超越代數方法所及的範圍之外。超越數也因此而得名。與超越數相反的數就是代數數，代數數是能夠用加號，減號，乘號，除號，根號寫成有理表示式的數，它能滿足任何整係數代數方程。

劉維爾數最明顯的特點就是1與1之間有非常多的0，其中第一個1出現在1！位置，第二個1出現在2！位置，第三個1出現在3！位置，以此類推沒有迴圈，也沒有重複，所以首先可以肯定它是無理數。

在瞭解劉維爾數之前，先看一個我們熟悉的無理數π

我們把π按寫成如下形式，π1小數點後是1，π2小數點後是14，π3小數點後是141，依次寫下去

我們取π，π1，π2，π3，π4的平方，

仔細的夥伴會發現，π1平方的整數位和π平方的整數位相同，π2平方小數第1位和π平方的小數第1位相同，π3平方小數第2位和π平方的小數第2位相同，π4平方小數第3位和π平方的小數第3位相同，而其餘的和π均不相同。

同理，我們將劉維爾數同樣寫成π 的形式，和π不同的是，L1，L2，L3，L4是1為分界線來劃分。

我們取L，L1，L2，L3，L4的平方，會發現L1，L2，L3，L4均和L平方的前幾位形同，這不同於π。

我們繼續取L，L1，L2，L3，L4的5次方，會發現L1，L2，L3，L4和L的5次方慢慢的發生變化，最後幾位出現了不同於L的5次方的數字。

會發現L1五次方與L五次方前幾位相同，L2五次方與L五次方前幾位不同，L3五次方與L五次方前幾位不同，L4五次方與L五次方前幾位又相同，L5五次方與L五次方前幾位又相同，等等。

總結會發現L1~L6的各自平方，立方，四次方與L的平方，立方，四次方前幾位均相同，只是從五次方開始出現差異。

我們假設劉維爾數是如下方程的根，將如下方程變換得到

將L帶入得到（其實L帶入，兩邊確實是近似相等的），同時將L1，L2，L3，L4帶入會發現等式兩邊會越來越近似相等，並無限接近，這符合代數方程根的特性。

直到取L5時等式兩邊數字是21。00001……，這已經足夠的精確，

因為L6的小數位數大於L5，所以換成L6方程兩邊基本可以畫上等號，

按照我們對代數方程根的理解，如果一個方程的根是無限小數的話，小數位越多，方程的根就越精確，所以L7，L8，L9，是方程的根更加精確。如下

如果這樣劉維爾數就是代數數，而不是超越數了，但真的如此嗎，其實當取L7,L8,L9時，以劉維爾數為根的這個方程不是規律性的越來越精確，而是無規律的變化。這也違背了代數方程根小數位越多越精確的特性。

要觀察這樣的情況必須在無限多的小數位才能更加明顯,如L5,L6,L7後面都是5位，6位，7位小數，它們的平方，立方，五次方就更為複雜，計算也就變得非常複雜，對這樣的計算我們有非常巧妙的方法，下一篇將繼續探討劉維爾數的奧秘。