數學運算方法應用———題型分類精析

速度對於行測而言，其重要性毋庸置疑，考生要想在行測中取得高分，不僅要會解題，更要快解題、巧解題。因此，對於行測而言，技巧和方法是非常重要的。為了幫助考生提高數學運算部分的答題速度和得分，本章根據該部分所使用技巧的不同，將數學運算的考題進行了分類。而對於每種題型，本著既要知其然又要知其所以然的目的，我們都將從常規解題方法和技巧性解題方法兩部分進行系統的講解，以便幫助考生更好地理解和運用該部分的原理和技巧。

一、基本數字規律

在數學運算中，這部分主要包括多數字之間的規律和函式問題，題型不難，主要考查方法的應用及熟練程度。

（一）運算規律

【核心知識】

運算規律包括基本運算規律、基本運算技巧、新運算規律 （定義新運算），是數學運算部分的基礎。

（１）基本運算規律

基本運算規律，考生需要掌握四則運算的運算順序，加法和乘法的基本運算規律，乘方運算的法則，以及平 （立）方差等基本公式。

（２）基本運算技巧

基本運算技巧主要包括：

①湊整法：根據數的特點，藉助於數的組合、分解以及四則運算等規律，將幾個數字湊成整十、整百、整千、整萬的數，也可以把較大的數字估算為其相近的數。

②因式分解法：把一個多項式轉化為幾個因式乘積的形式。

③換元法：把式子的某個部分看成一個整體，並用一個新的變數去替換它，達到簡化算式與計算的目的。

④首尾數法：透過計算首位或者末位數字 （一位或兩位）來確定答案。以上這些方法和基本運算定律結合起來使用，可以提高計算速度。

（３）新運算規律

新運算規律，即定義新運算，是指給出了新的運算子號，並對這些符號規定了新的運算規則，考生需要按照新的運算規律來進行運算。解決這類問題一定要認真觀察、仔細分析、充分理解新運算規律的定義，並嚴格按照新定義式中的規則進行代入，進而將這類問題轉化成熟悉的四則運算。

【真題精析】

例 ：（２０１１·浙江）ａ⊙ｂ＝４ａ＋３ｂ，若 ５⊙ （６⊙ｘ） ＝１１０，則 ｘ的值為 （ ）

Ａ。５ Ｂ。４ Ｃ。３ Ｄ。２

【答案】Ｄ

【解析】根據題意可得，４×５＋３× （４×６＋３ｘ） ＝１１０，解得 ｘ＝２。故選 Ｄ。

【難度】★★

（二）拆分規律

拆分規律有位數的拆分、因數分解、加數拆分等。其中位數的拆分，以六位數ａｂｃｄｅｆ為例，可拆分為 ａ×１０５＋ｂ×１０４＋ｃ×１０３＋ｄ×１０２＋ｅ×１０＋ｆ。

例 １：（２０１５·國考）餐廳需要使用 ９升食用油，現在庫房裡庫存有 １５桶 ５升裝的，３桶 ２升裝的，８桶 １升裝的。問：庫房有多少種發貨方式，能保證正好發出餐廳需要的 ９升食用油？（ ）

Ａ。４ Ｂ。５ Ｃ。６ Ｄ。７

【答案】Ｃ

【解析】有以下情況：（５，２，２）（５，２，１，１）（５，１，１，１，１）（２，２，２，１，１，１）（２，２，１，１，１，１，１）（２，１，１，１，１，１，１，１），共 ６種情況。故選 Ｃ。

例 ２：（２０１７·國考）小張需要在 ５個長度分別為 １５秒、５３秒、２２秒、４７秒和 ２３秒的影片片段中選取若干個，合成為一個長度在 ８０～９０秒之間的宣傳影片。如果每個片段均需完整使用且最多使用一次，並且片段間沒有空閒時段，問他按照要求可能做出多少個不同的影片？（ ）

Ａ。１２ Ｂ。６ Ｃ。２４ Ｄ。１８

【答案】Ａ

【解析】將 ５段影片 （１５，５３，２２，４７，２３）合成為一個長度在 ８０～９０秒之間的宣傳影片，即總的時間 ８０秒≤Ｔ≤９０秒。５段影片全取，Ｔ＞９０，不符合題意；取任意 ４段影片，Ｔ＞９０，不符合題意；故只能取 ３段影片，當取 ４７，２２，１５時，Ｔ＝８４，而這 ３段影片的一個拼接順序又是一個排列，有 ６種；當取 ４７，２３，１５時，Ｔ＝８５，而這 ３段影片的一個拼接順序同樣是一個排列，有 ６種；當取 ５３，２２，１５時，Ｔ＝９０，不符合題意。因此，總的情況數有 １２種，故正確答案為 Ｄ。

【難度】★★★

例 ３：（２０１４·國考）某單位某月 １～１２日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班 ４天。三人各自值班日期數字之和相等。已知甲頭兩天值夜班，乙 ９、１０日值夜班，問丙在自己第一天與最後一天值夜班之間，最多有幾天不用值夜班？（ ）

Ａ。０ Ｂ。２ Ｃ。４ Ｄ。６

【解析】１～１２日期數字之和為（１＋１２）×１２÷２＝７８，則每人值班日期之和為 ７８÷３＝２６。已知甲值班日期為 １、２，剩 ２６－１－２＝２３，只能是 ２３＝１１＋１２，即甲值班日期為 １、２、１１、１２。已知乙值班日期為 ９、１０，剩 ２６－９－１０＝７，只能是 ７＝３＋４，即乙值班日期為 ３、４、９、１０。所以丙值班日期為 ５、６、７、８，即丙第一天與最後一天之間都值班，有０天不用值班。故選 Ａ。

例 ４：（２０１４·廣東）一名顧客購買兩件均低於 １００元的商品，售貨員在收款時錯將其中一件商品標價的個位數和十位數弄反了，該顧客因此少付了 ２７元。被弄錯價格的這件商品的標價不可能是 （ ）元。

Ａ。４２ Ｂ。６３ Ｃ。８５ Ｄ。９６

【解析】設被弄錯價格的這件商品的標價為 １０ａ＋ｂ，則弄反後為 １０ｂ＋ａ，於是有（１０ａ＋ｂ） － （１０ｂ＋ａ） ＝２７，解得 ａ－ｂ＝３，只有 Ａ項不符合。故選 Ａ。

（三）均值問題

例 １：（２０１５·上半年聯考浙江卷）某一農村的農民自發組織若干位同村農民旅行，其旅行費用包括：個人辦理赴臺手續費，在臺旅行的車費平均每人 ５０３元，飛機票平均每人 １９９８元，其他費用平均每人 １１９９元，已知這次旅行的總費用是 ９２０００元，總的平均費用是 ４６００元，問：赴臺的總人數和個人辦理赴臺手續費分別是多少？（ ）

Ａ。２０人，７００元 Ｂ。２１人，６５０元 Ｃ。２０人，９００元 Ｄ。２２人，８５０元

【解析】赴臺的總人數為 ９２０００÷４６００＝２０人，個人辦理赴臺手續費為 ４６００－５０３－１９９８－１１９９＝９００元。故選 Ｃ。

例 ２：（２０１３·國考）小王參加了五門百分制的測驗，每門成績都是整數。其中語文９４分，數學的得分最高，外語的得分等於語文和物理的平均分，物理的得分等於五門的平均分，化學的得分比外語多 ２分，並且是五門中第二高的得分。問小王的物理考了多少分？（ ）

Ａ。９４ Ｂ。９５ Ｃ。９６ Ｄ。９７

【解析】根據題意可知，五門的排名為數學、化學、物理、外語、語文。外語為語文和物理的平均分，化學比外語多 ２分，故物理只能比外語多 １分，則語文比外語少 １分，物理為 ９４＋１＋１＝９６分。故選 Ｃ。

（四）數列規律

【真題精析】

例 １：（２０１４·上海 Ａ、Ｂ卷）某學校在 ４００米跑道上舉行萬米長跑活動，為鼓勵學生積極參與，制定了積分規則：每跑滿半圈積 １分，此外，跑滿 １圈加 １分，跑滿 ２圈加 ２分，跑滿 ３圈加 ３分……以此類推。那麼堅持跑滿一萬米的同學一共可以得到的積分是分。

Ａ。３２５ Ｂ。３４９ Ｃ。３５０ Ｄ。３７５

【解析】每跑滿半圈積 １分，共可積 １００００÷ （４００÷２） ＝５０分；１萬米共 １００００÷４００＝２５圈，故跑滿整圈可積 １＋２＋３＋４＋… ＋２５＝ （１＋２５） ×２５÷２＝３２５分。因此積分一共為 ５０＋３２５＝３７５分。

例2：（２０１４·浙江 Ａ、Ｂ卷）合唱團成員排練時站在一個五級的臺階上，最上面一級站 Ｎ個人。若上面一級比下面一級多站一個人，則多了 ７個人；若上面一級比下面一級少站一個人，則少多少人？（ ）

Ａ。４個 Ｂ。７個 Ｃ。１０個 Ｄ。１３個

【解析】若上面一級比下面一級多站一個人，則第三級臺階上面有 （Ｎ－２）人，總人數為 ５（Ｎ－２） ＋７＝５Ｎ－３。若上面一級比下面一級少站一個人，則第三級臺階上面有（Ｎ＋２）人，總人數為 ５Ｎ－３＝５（Ｎ＋２） －１３，故此時少了 １３人。故選 Ｄ。

（五）函式問題

函式問題包括分段問題和最值問題兩個部分，主要研究數學函式的分段求解、最大（最小）值等相關性質，以及函式在實際生活中的應用。

（１）分段問題

分段問題，實質就是代數中的分段函式問題，解題的關鍵是正確找出分段點，明確各分割槽間內數量間的關係。在近幾年的行測中，分段問題主要涉及 ２～３個區間段的計算，內容涵蓋銷售、稅金、支付、提成等日常事項

例3：（２０１２·上海 Ａ、Ｂ類）某市計程車收費標準是：５千米內起步費 １０。８元，以後每增加 １千米增收 １。２元，不足 １千米按 １千米計算。現老方乘計程車從 Ａ地到 Ｂ地共支出 ２４元，如果從 Ａ地到 Ｂ地先步行 ４６０米，然後再乘計程車也是 ２４元，那麼從 ＡＢ的中點 Ｃ到 Ｂ地需車費 元。（不計等候時間所需費用）

Ａ。１２ Ｂ。１３。２ Ｃ。１４。４ Ｄ。１５。６

【解析】由 （２４－１０。８） ÷１。２＝１１知，Ａ地到 Ｂ地距離在 １５千米到 １６千米之間，又由 “如果從 Ａ地到 Ｂ地先步行 ４６０米，然後再乘計程車也是 ２４元”可知，Ａ地到 Ｂ地距離在 １５。４６千米到 １６千米之間，故中點 Ｃ到 Ｂ地距離在 ７。７３千米到 ８千米之間，故 Ｃ點到 Ｂ地需車費 （８－５） ×１。２＋１０。８＝１４。４元。故選 Ｃ。