有理數，一個被翻譯玩兒壞的數學概念

實數 有理數，一個被翻譯玩兒壞的數學概念

“你還有理了？！”當你聽到父母說這句話的時候，請記住，一定不要把它理解成是一句表揚的話。往往這句話後，接下來的事兒不說你也清楚，男子單打，女子單打，混合雙打……各種雞鳴狗跳……

但這句話也未必不是一句表揚的話，因為你在證明自己觀點的過程中不自覺得運用了邏輯，並構成了一個理論上自洽的系統，致使父母沒辦法以同樣的方式推翻它，而不得不借助於權威——棍棒。

“有理”，從字面意義上看就是有道理。但當用“有理”來給一類數命名時，這個名稱就略顯得沒那麼有道理了。

我們很自然地知道，自然數即Natural Number，那麼有理數呢？Rational Number。Rational這個英語單詞的意義的確有“理性”或“道理”的意思，但何以數還分成有理和無理呢，難道有些數會顯得比另外一些數更加有理性嗎？產生這樣的問題是很自然的事，但這個其實是被翻譯玩兒壞的一個數學概念，以訛傳訛，沿用至今，以至於沒人再去追究它本來的意義。

但這是一個天大的誤會。Ration在英語中的含義是理性，那作為形容詞的rational翻譯成有理的，這的確是無懈可擊的。但問題出在，這個詞來源於ratio，它不僅有理性之義，還有比例之義。那也就是說rational number應該翻譯成“成比例的數”。沒錯，事實就是這樣。

說到比例，如果回憶你小學時的數學課的話，你先想到的形式是2：3或者其它什麼東西。那麼2：3還可以用什麼方式來表示呢？2/3，這是什麼數啊？分數啊！只要上過小學的人都知道的知識。

那麼有理數，也就是“成比例的數”，指的就是可以寫成分數形式的所有數，自然數自然可以，比如2，我們可以寫成2/1，雖然實際上我們不這麼寫，因為這太麻煩，違反了經濟原則（就是追求以最小的努力來獲取最大的利益，這個原則在生活的各個方面幾乎都是適用的，這是否從側面證明人天生是懶惰的呢？可能吧！）你看，如果我們有了有理數這個概念，那麼所有的自然數、小數（可以寫成分數的形式，包括迴圈小數）、所有的整數（無論是正的還是負的）、0等就都包括在其內了，因此說“有理數”這個概念的產生，使數系從自然數發展到整數之後，又向前邁進了一步——實數。

實數包括哪些類數呢？我們學過的關於實數的定義一定是“所有有理數與無理數的總稱。”你看，問題接著就來了——“無理數”出現了。有了上面的分析，你大概不會再認為“無理數”就是沒有道理的數了吧。因為它的實際意義應該是“不成比例的數”，也就是不能用分數形式表達的數。

我們在認識這個問題的時候，往往會自然地認為，肯定是先有了有理數才有無理數的。這個說法既對又不對。根據認識規律，我們是從“有”開始認識“無”的，也可以說是從開始認識“肯定”再認識“否定”的，從這個角度理解，這句話好像是十分正確的。但如果從概念產生的先後順序來講，則一定是先產生的無理數概念，才產生了有理數的概念。

這事兒說來話長。

人類自從認識了自然數，認識了序數後，加法就比較自然地產生了。加法的產生又導致了乘法的產生。加法和乘法的逆向運算又導致了減法和除法的產生。減法的產生導致了負數的產生，而除法則導致了一個令人無解的事兒，而這個困惑的解決，就是無理數概念的產生。

剛才我們已經談了有理數的問題，所有的有理數都可以用分數的形式表達，但無理數卻不能，它們不能以分數的形式表示，且是無限的不迴圈的數，也就是在當時人們的認知範圍內，人們沒有辦法表示出來，也寫不出來。但它又是現實存在的。那麼，我們就從現實存在來談起。

古代人很早就有了幾何學。人們一般認為幾何學產生於日常生活中對於丈量的需要。比如要丈量一塊地的面積或這塊地某個邊的長度。土地的形狀是不規則的，所以他們在丈量之前先要把地分割成規則的形狀。三角形就是最基本的規則形狀，這也是認識和學習整個幾何學的基礎（歐氏幾何）。一個任意的多邊形都可以分割成大小不一的三角形，只要知道了三角形的面積計算方法，加在一起就可以知道任何形狀的面積了（這兒，我們先不談圓形或弧形事物面積的丈量和計算問題）。

而三角形中有一類是特殊的，即直角三角形。古代人很早就知道了如果一個三角形的邊長分別是3、4、5，那麼這個三角形一定是直角三角形。於是，利用這個最簡單的知識，人們可以丈量幾乎所有形狀的土地面積了。

怎麼操作呢？先假設一個基本的單位，比如米，比如英尺（英尺其實就是某位英國國王的腳的長度），這些單位最開始是非常隨意的規定，沒有什麼規律可言，就像我們將狗叫狗而不叫豬一樣隨意。有了單位之後，他們就用3、4、5的倍數，先將直角的兩邊按倍數放大，然後他的斜邊長度自然就可以知道了，如6、8、10，再如9、12、15等等。你肯定會覺得，這多麻煩啊，不是可以用勾股定理嗎？是的，這就是勾股定理！但這個定理所涉及的都是一個個具體的常數，還沒有被抽象為一般的規律以適應所有的常數，走出這一步是人類認識的一個巨大進步。並且，埃及人確實就是這麼幹的，雖然辦法很笨，但解決了他們的實際問題。並且請你注意這可是發生在3000多年之前的事。

希臘人大概是最早知道3^2+4^2=5^2的，所以在此，我們假定他們已經認識到了a^2+b^2=c^2這個一般規律了。西方人稱之為畢達哥拉斯定理。你或許認為畢達哥拉斯是個偉大的數學家，恭喜你，你說對了，但只說對了一部分。他不僅僅是位偉大的數學家，更是一位偉大的哲學家。

關於畢達哥拉斯這個人我還是想多說點。他基本上算是一個神秘主義者吧。比如，他認為人不能吃豆子，不能過豆子地，而他本人就是因為不願走豆子地而被追兵殺死的。我們現在是不是覺得事兒有點搞笑？但我們真不能笑他，因為正是他對信仰的執著追求才能給他以力量啊！這位“豆子先生”認為萬事萬物的本質都是數。我們先不去探討這是多麼無稽可笑，但正是他堅持認為世界的本質是數，才有了數學的發展，才有了我們下面的話題，而這個問題是否動搖了他的世界觀，我們不知道，但動搖了當時數學的基礎卻大概是真的。這在數學史上被稱為“第一次危機”。

事情的起因是這樣的，我們還是從畢達哥拉斯定理開始說起。

存在這樣一個等腰直角三角形，它的兩個直角邊是1，那麼它的斜邊是多少呢？我們假設斜邊長是一個有理數（提醒：這時還沒有有理數和無理數之分），也就是可以寫成分數的形式，那麼我們可以用m/n來表示，這個沒毛病吧。那麼根據畢達哥拉斯定理，這個等式m2/n2=2是不是成立啊？絕對成立。接下來我們要把m^2/n^2化為最簡形式，也就是約分啊。我們假設，作為分子和分母的m和n已經沒有公約數了，也就是最簡形式了，那麼m和n中必有一個是奇數，這也沒有毛病吧（如果兩個都是偶數的話，那就不是最簡形式了）？哪一個呢？肯定不是m啊，因為m^2=2n^2啊（無論n^2是什麼，乘以2肯定是偶數啊），所以肯定n是奇數。既然m是個偶數，那麼我們假設它等於2p，這也沒有問題吧？那麼好了，4p^2=2n^2，再約分，n^2=2p^2，那麼n就是個偶數。這與我們先前的推論相反。天哪！多麼得不可思議，這說明一個什麼問題？說明我們明明知道有一個數存在，卻不能用分數表達出來，多麼可怕！還說數是世界的本質呢！

至於這場危機是怎麼解決的，我想你大概可以推想出來了，人們又發明了一個無理數的概念，於是無理數加上有理數，實數數系就發展起來。當然，這說來簡單，實際上也是一個很漫長的過程，至於怎樣完成的，由誰來完成的，這不是我這兒要說的重點。

那我的重點是什麼呢？有理數不是說它多麼的有理，而是說這個數可以寫成分數的形式，是“成比例的數”，而無理數也不比有理數顯得那麼有無理，它們是不能被寫成分數的形式，是“不成比例的數”。

這才是重點，僅此而已。