高數這個概念很難理解，老黃給大家證明！

一致連續性是一個比較難理解的高數概念，那是“老黃學高數”第131講分享的內容。這篇文章要介紹的是，如何運用實數的完備性定理，證明連續函式在閉區間上的一致連續性定理。

一致連續性，簡言之，就是閉區間上的連續函式也一致連續。老黃要給大家分享兩種證法。

一致連續性定理：若f在[a,b]上連續，則在[a,b]上一致連續.

證法一：(應用有限覆蓋定理)由f在[a,b]上的連續性，

ε>0，對每一點x∈[a,b]，都存在δx>0，使得當x0∈U(x,δx)時，有|f(x0)-f(x)|<ε/2.

【每一個點都符合連續性的定義，即每一個點都有對應的一個鄰域半徑δx】

令H={U(x,δx/2)|x∈[a,b]}，則H開覆蓋[a,b].

【把這些鄰域的半徑縮小一半，組成一個開區間集H，由於它們是由閉區間上的每一個點的鄰域構成的，所以閉區間上的每一個點都在H中至少屬於一個開區間，從而實現對閉區間的無限開覆蓋。至於為什麼要把鄰域的半徑縮小一半，只是為了證明的結果看起來更加完美，其實沒有什麼實際必要】

由有限覆蓋定理, 有H’={U(xi,δi/2)|i=1,2,…,k}H, 覆蓋[a,b]，

【有限覆蓋定理：閉區間的無限開覆蓋必存在有限開覆蓋。即可以在H中選出有限個開區間，構成H的有限子集H‘，實現對閉區間的有限開覆蓋】

記δ=min(0<i≤k) {δi/2}>0, 對任何x1,x2∈[a,b]，只要|x2-x1|<δ,

【高數的常規操作，取H’的所有開區間的最小半徑，則只要閉區間上任意兩點的距離小於這個最小半徑，那麼它們就肯定屬於某一個鄰域】

x1必屬於H’的某個開區間U(xi,δi/2)，即|x1-xi|<δi/2, 則有

【不過這裡並沒有直接說它們屬於同一鄰域，而是先說x1屬於某一鄰域】

|x2-xi|≤|x2-x1|+|x1-xi|<δ+δi/2≤δi/2+δi/2=δi,

【然後再利用絕對值的三角不等式，證明x2也屬於同一個鄰域。瞧，最後推出的距離小於δi，這就是為什麼前面要取δi/2的原因，這是高數的一種強迫症，其它沒有必要，你就推出的結果是一恆河沙個δi，那也改變不了它可以任意小的實質】

又|f(x1)-f(xi)|<ε/2, |f(x2)-f(xi)|<ε/2, 有|f(x2)-f(x1)|≤|f(x1)-f(xi)|+|f(x2)-f(xi)|<ε.

【然後在函式方面還要再用一次絕對值的三角不等式，證明兩個函式值的距離小於任意正數ε，符合一致連續性的定義】

∴f在[a,b]上一致連續.

證法二：(應用緻密性定理)若f在[a,b]上不一致連續，則

【應用緻密性定理和反證法】